Кратные множители многочлена

Корень $c$ имеет **кратность** $m$, если $(x - c)^{m} \mid f(x)$ и $(x - c)^{m + 1} \nmid f(x)$

Пусть $\operatorname{char} F = 0$. Если $p$ - неприводимый множитель $f$ и он входит с кратностью $k$, то: 1. Если $k = 1$, то $p \nmid f'$ 2. Если $k > 1$, то $p$ - множитель $f'$ кратности $k - 1$

Пусть $f = p^{k}g$ и $p \nmid g$, так как "вытягиваем" $p$ мы с максимальной кратностью. **Случай 1:** $k = 1$ $f = pg$, тогда $f' = p'g + pg'$ От противного: $p \mid f'$, тогда, так как $p$ делит и $f'$, и $pg'$, то $p \mid p'g$. Так как $\operatorname{НОД}(p, p') = 1$, то $p \mid g$, противоречие. **Случай 2:** $k > 1$ $f = p^{k}g$, а значит $f' = kp^{k-1}p'g + p^{k}g' = p^{k-1}(kp'g + pg')$, следовательно $p^{k-1} \mid f'$ От противного: $p^{k} \mid f'$, тогда $p \mid (kp'g + pg')$, значит $p \mid g$, противоречие. $\square$

Для корня $a \in F$ многочлена $f\in F[x]$: $$ (x - a)^k \mid f \iff f(a) = f'(a) = \dots = f^{(k-1)}(a) = 0 $$

Представить многочлен $f(x) = p_{1}^{k_{1}} \cdot p_{2}^{k_{2}} \cdot ... \cdot p_{m}^{k_{m}}$ в виде $f(x) = d_{1} \cdot d_{2}^{2} \cdot ... \cdot d_{l}^{l}$ Изначально $p_{1}, \dots, p_{m}$ и их кратности нам неизвестны.

Возьмём производную: $$f' = k_{1}p_{1}^{k_{1} - 1}p_{1}'p_{2}^{k_{2}}\dots p_{m}^{k_{m}} + \dots + k_{m}p_{1}^{k_{1}}\dots p^{k_{m} - 1}_{m}p_{m}'$$ Найдём НОД: $$\operatorname{НОД}(f, f') = p_{1}^{k_{1} - 1}p_{2}^{k_{2} - 1}\dots p_{m}^{k_{m} - 1} =^{*} d_{2}d_{3}^{2} \dots d_{l}^{l-1} = f_{1}$$ $*$ - аналогично тому, как мы нашли НОД для $p$. Повторяя алгоритм достаточное количество раз, дойдём до $f_{l-1} = d_{l}$. Используя его, сможем найти и остальные $d_{1}, \dots, d_{l-1}$ --- Небольшое следствие для нахождения произведения множителей без учёта кратности: $$\dfrac{f}{f_{1}} = \dfrac{f}{\operatorname{НОД}(f, f')} = p_{1}p_{2}\dots p_{m}$$